Wahrscheinlichkeitsrechnung
Unter bestimmten Umständen kann man die Wahrscheinlichkeit, mit der bestimmte Ereignisse eintreten, berechnen. Das ist immer dann möglich, wenn einerseits ...
- die Anzahl der möglichen Ereignisse bekannt ist und zugleich
- die Wahrscheinlichkeit dieser Ereignisse tatsächlich einzutreten gleich hoch ist.
Beispiel:
Betrachtet man einen Würfel mit 6 Seiten, so können beim Würfeln 6 Ereignisse (Zustände) eintreten: Man würfelt 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 "Punkte". Bei einem "normalen" Spielwürfel, bei dem alle Kanten, Flächen und die Gewichtsverteilung gleich sind, treten alle Ereignisse mit gleicher Wahrscheinlichkeit ein.
Die Wahrscheinlichkeit bei einem einzigen Wurf eine 5 zu würfeln, also dass sich 1 bestimmter Zustand von 6 gleich wahrscheinlichen Zuständen einstellt (nämlich, dass die 5 oben liegt) beträgt 1/6 oder ungefähr 16,7 %. Die Wahrscheinlichkeit eine 5 oder 6 zu würfeln, dass also eines von zwei bestimmten Ereignissen aus insgesamt sechs möglichen Ereignissen eintritt, ist doppelt so hoch: 2/6.
- Die Wahrscheinlichkeit, dass 1 bestimmtes Ereignis aus X möglichen Ereignissen, die gleich wahrscheinlich sind, eintritt, wird als 1/X berechnet und kann als Bruch, Dezimalziffer oder in Prozent angegeben werden.
- Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Ereignisse muss 100% oder 1 ergeben, da X mal 1/X addiert eben 1 ergibt und ja ganz sicher eines der Ereignisse eintreten muss
Wie hoch ist nun aber die Wahrscheinlichkeit zwei 5er hintereinander zu würfeln? Prinzipiell geht man nach obiger Regel vor: Das eine "gewünschte" Ereignis ist: bereits im ersten Wurf eine 5 und dann auch im zweiten Wurf eine 5 zu würfeln! Alles was zur Berechnung fehlt ist der Wert von X, also die Anzahl der möglichen Ereignisse (mit gleicher Wahrscheinlichkeit).
Dazu folgende kurze Betrachtung (eine Graphik wäre nett), ausgehend vom Ergebnis des ersten Wurfs:
- eine 1 gefolgt von 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 / insgesamt 6 Möglichkeiten ausgehend von einer 1
- eine 2 gefolgt von 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 / insgesamt 6 Möglichkeiten ausgehend von einer 2
- eine 3 gefolgt von 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 / insgesamt 6 Möglichkeiten ausgehend von einer 3
- eine 4 gefolgt von 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 / insgesamt 6 Möglichkeiten ausgehend von einer 4
- eine 5 gefolgt von 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 / insgesamt 6 Möglichkeiten ausgehend von einer 5
- eine 6 gefolgt von 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 / insgesamt 6 Möglichkeiten ausgehend von einer 6
Es zeigt sich, dass insgesamt also 6 mal 6 Möglichkeiten (=36) existieren, die eintreten können. Die Wahrscheinlichkeit für zwei 5er nacheinander beträgt demnach 1/36.
- Allgemein werden zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Gesamt-Ereignisses, bei dem einzelne Schritte bzw. Zwischenereignisse nacheinander "durchlaufen" werden, dadurch berechnet, dass man die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse der einzelnen Stufen bzw. Zwischenereignisse multipliziert.
- Entsprechendes gilt für 2 gleichzeitig eintretende Ereignisse. Man kann ja genau so gut mit zwei Würfeln gleichzeitig würfeln, ohne dass sich an der Wahrscheinlichkeit für zwei 5er verändert.
In unserem Würfelbeispiel wäre dies eine Wahrscheinlichkeit von 1/6 für die erste 5 multipliziert mit 1/6, der Wahrscheinlichkeit für den 5er im zweiten Wurf (Ergebnis: 1/36).
Das häufigste Problem bei der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten ist die genaue Erfassung der Situation und der daraus resultierenden möglichen Zustände. Zum Teil muss das Problem in eine andere, besser zu überschauende Situation "umgedacht" werden. Hier ist Übung und Köpfchen gefragt ...
Zum Nachlesen im Online-Mathematikbuch ...